پایان نامتناهی؛ چرا برخی ریاضی‌دانان با مفهوم بی‌نهایت مخالف هستند؟
ریاضیات متناهی؛ بازنگری در بنیان‌های بی‌نهایت
در آغاز قرن بیستم، دو ریاضی‌دان برجسته، ارنست تسرملو و آبراهام فرانکل، نظریه مجموعه‌ها را به‌عنوان پایه‌ای برای کل ریاضیات معرفی کردند. تا پیش از آن، شاخه‌هایی مانند هندسه، جبر، تحلیل و احتمال اغلب به‌صورت جداگانه بررسی می‌شدند. این دو دانشمند مجموعهای از ۹ اصل بنیادی موسوم به «اکسیوم‌ها» تدوین کردند که امروزه شالوده‌ی ریاضیات مدرن را تشکیل می‌دهند.
یکی از این اصول، وجود مجموعه تهی است؛ یعنی فرض بر این است که مجموعهای بدون هیچ عضو وجود دارد—ایده‌ای که تقریباً همه با آن موافق‌اند. اما اصل دیگری، وجود مجموعه‌های نامتناهی را تضمین می‌کند، و اینجاست که متناهی‌گرایان مخالفت خود را آغاز می‌کنند. آن‌ها خواهان ساختن ریاضیات بدون فرض بی‌نهایت‌اند؛ ریاضیاتِ متناهی.
چرا متناهی‌گرایان با بی‌نهایت مخالف‌اند؟
مخالفان بی‌نهایت، نه‌تنها به‌دلیل محدودیت‌های جهان واقعی، بلکه به‌خاطر نتایج عجیب و غیرقابل‌پذیرشی که از نظریه مجموعه‌ها حاصل می‌شود، با این مفهوم مخالفت می‌کنند. برای نمونه، پارادوکس باناخ–تارسکی نشان می‌دهد که می‌توان یک کره را به بخش‌هایی تقسیم کرد و سپس آن‌ها را طوری بازچینی کرد که دو کره‌ی هم‌اندازه با کره‌ی اولیه به‌دست آید! این نتیجه از نظر ریاضی ممکن است، اما در دنیای واقعی غیرقابل تصور است.
برخی فیزیک‌دانان معتقدند که شاید بتوان با ریاضیات متناهی، توصیف دقیق‌تری از جهان ارائه داد.
منطق متناهی‌گرایان
متناهی‌گرایان معتقدند: «یک شیء ریاضی تنها زمانی وجود دارد که بتوان آن را با تعداد متناهی گام از اعداد طبیعی ساخت.» بر همین اساس، حتی اعداد گنگ مانند √۲ نیز قابل پذیرش نیستند، چون برای تعریف آن‌ها به مجموعهای بی‌نهایت نیاز است.
در نتیجه، اصول منطقی کلاسیک مانند «اصل طرد شق ثالث» که می‌گوید هر گزاره یا درست است یا نادرست، در ریاضیات متناهی کاربرد ندارد. در این دیدگاه، ممکن است یک گزاره در لحظه‌ای خاص «نامشخص» باشد، مثلاً اگر مقدار عددی آن هنوز تعیین نشده باشد. نمونه‌ی معروف این مسئله عدد ۰٫۹۹۹… است که در ریاضیات کلاسیک برابر با ۱ در نظر گرفته می‌شود، اما در ریاضیات متناهی، چون بی‌نهایت وجود ندارد، این برابری پذیرفته نمی‌شود.
آیا جهان با ریاضیات متناهی قابل توصیف است؟
بدون اصل طرد شق ثالث، اثبات بسیاری از قضایای ریاضی دشوار می‌شود، چرا که بخش بزرگی از آن‌ها بر این اصل تکیه دارند. به همین دلیل، تنها تعداد اندکی از ریاضی‌دانان به‌طور جدی به متناهی‌گرایی پرداخته‌اند. حذف بی‌نهایت، ریاضیات را پیچیده‌تر و محدودتر می‌کند.
بااین‌حال، برخی فیزیک‌دانان مانند نیکولا ژیزن از دانشگاه ژنو به این فلسفه علاقه‌مند شده‌اند. او معتقد است که فضا و زمان تنها می‌توانند مقدار محدودی از اطلاعات را در خود جای دهند، و بنابراین استفاده از اعداد بی‌نهایت بزرگ یا محاسبات بی‌پایان در توصیف جهان واقعی بی‌معناست.
افق‌های تازه در ریاضیات
گرچه متناهی‌گرایی هنوز در مراحل ابتدایی خود قرار دارد، اما جذابیت‌های زیادی دارد—به‌ویژه در زمانی که فیزیک مدرن در پاسخ به پرسش‌هایی مانند منشأ جهان یا ماهیت نیروهای بنیادی دچار بن‌بست شده است. شاید بازنگری در مفروضات بنیادین ریاضی بتواند راهی تازه به‌سوی درک بهتر واقعیت بگشاید.
در نهایت، همه‌چیز به یک پرسش اساسی برمی‌گردد: آیا به بی‌نهایت باور دارید؟ و پاسخ آن، چیزی است که هر فرد باید خود بیابد.